Pembahasan Soal 1 (Mekanika)

(1) Persamaan Gerak dan Posisi Kesetimbangan

Dalam sistem rotasi dengan kecepatan sudut $ \omega $, bandul mengalami gaya sentrifugal efektif sebesar $m \omega^2 r$ di mana $r$ adalah jarak mendatar bandul dari sumbu rotasi. Jika sudut bandul adalah $ \theta $, maka $ r = L \sin\theta $. Komponen gaya yang berperan sejajar arah simpangan $ \theta $ akan memberikan persamaan (untuk keseluruhan sudut):

\[ m L \ddot{\theta} = - m g \sin\theta + m \omega^2 L \sin\theta \cos\theta. \]

Posisi kesetimbangan diperoleh saat $ \ddot{\theta} = 0 $ dan $ \dot{\theta} = 0 $, yaitu

\[ - g \sin\theta + \omega^2 L \sin\theta \cos\theta = 0. \]

Solusi trivial $ \theta = 0 $ mungkin ada, namun juga bisa ada solusi non-trivial jika $ \theta \neq 0 $. Dengan manipulasi,

\[ \omega^2 \cos\theta = g \quad \Longrightarrow \quad \cos\theta = \frac{g}{\omega^2 L}. \]

Sudut tersebut dapat eksis jika $ \frac{g}{\omega^2 L} \le 1 $.

(2) Periode Getaran Kecil

Untuk getaran kecil di sekitar sudut setimbang $ \theta_0 $, kita lakukan linearisasi persamaan gerak. Hasilnya berbentuk

\[ \ddot{\phi} + \Omega^2 \phi = 0, \]

di mana $ \phi = \theta - \theta_0 $. Frekuensi sudut $ \Omega $ diperoleh dari turunan parsial gaya di sekitar $ \theta_0 $. Secara umum,

\[ \Omega^2 = \frac{g \cos\theta_0}{L} + \omega^2 \bigl(\cos^2\theta_0 - \sin^2\theta_0\bigr). \]

Dengan $ \cos\theta_0 = \frac{g}{\omega^2 L} $, besaran di atas bisa disubstitusikan untuk didapatkan nilai numerik. Periode getaran kecil adalah

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\Omega^2}}. \]

(3) Energi Total Sistem

Energi potensial gravitasi bandul, dengan mereferensi titik terendah ($ \theta = 0 $) sebagai nol energi potensial, adalah

\[ U_g = m g L \bigl(1 - \cos\theta\bigr). \]

Energi kinetik bandul

\[ T = \tfrac12 m \bigl(L^2 \dot{\theta}^2\bigr). \]

Sehingga total energinya:

\[ E = T + U_g = \tfrac12 m L^2 \dot{\theta}^2 + m g L \bigl(1 - \cos\theta\bigr). \]

Dalam kerangka pivot yang berputar, ada pertimbangan energi tambahan, namun secara total (di ruang inersial), ini sudah merepresentasikan energi mekanik bandul (tanpa gesekan).

Kembali ke Soal

Pembahasan Soal 2 (Termodinamika)

(1) Pekerjaan pada Proses Isotermal

Untuk gas ideal (monoatomik) pada suhu konstan $T_1$:

\[ W_{\mathrm{iso}} = n R T_1 \ln\!\biggl(\frac{V_2}{V_1}\biggr). \]

(2) Kalor pada Proses Isokorik

Pada proses isokorik ($V$ konstan), tidak ada pekerjaan ($W = 0$). Kalor yang diserap/dilepaskan adalah

\[ Q_{\mathrm{isochoric}} = n C_v (T_2 - T_1). \]

Untuk gas monoatomik, $ C_v = \tfrac{3}{2}R $, sehingga

\[ Q_{\mathrm{isochoric}} = \tfrac{3}{2} n R \bigl(T_2 - T_1\bigr). \]

(3) Hubungan Adiabatik

Untuk proses adiabatik:

\[ P V^\gamma = \text{konstan}, \quad\text{atau}\quad T V^{\gamma - 1} = \text{konstan}. \]

Dari $V_2, T_2$ kembali ke $V_1, T_1$, diperoleh

\[ T_2 \,V_2^{\,\gamma - 1} = T_1 \,V_1^{\,\gamma - 1}. \] \[ \implies \quad \frac{T_2}{T_1} = \Bigl(\frac{V_1}{V_2}\Bigr)^{\gamma - 1}. \]

(4) Efisiensi Termal Total

Efisiensi $ \eta $ didefinisikan sebagai rasio kerja total terhadap kalor yang diserap. Kerja total adalah penjumlahan kerja pada proses isotermal dan adiabatik, sementara kalor diserap terjadi pada proses isotermal (jika mengembang) dan isokorik (jika $T_2 > T_1$). Secara umum:

\[ W_{\mathrm{total}} = W_{\mathrm{iso}} + W_{\mathrm{adiabatik}}, \quad Q_{\mathrm{in}} = Q_{\mathrm{iso\,in}} + Q_{\mathrm{isokorik\,in}}. \] \[ \eta = \frac{W_{\mathrm{total}}}{Q_{\mathrm{in}}}. \]

Ungkapan akhirnya akan melibatkan $ \gamma $, rasio $ V_2 / V_1 $, dan perbandingan suhu $ T_2 / T_1 $. Detailnya tergantung urutan apakah suhu naik atau turun pada proses isokorik, tetapi prinsipnya sama.

Kembali ke Soal

Pembahasan Soal 3 (Listrik dan Magnet)

(1) Arus Induksi $ I(t) $

Gaya gerak listrik (ggl) induksi $ \varepsilon(t) $ dapat diturunkan dari Hukum Faraday:

\[ \varepsilon(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}\bigl(B_0 e^{-kt}\,\pi R^2\bigr) = \pi R^2 B_0 k\,e^{-kt}. \]

(Tanda minus menunjukkan arah arus sesuai hukum Lenz, untuk nilai besarnya kita ambil positif.) Maka arus induksi:

\[ I(t) = \frac{\varepsilon(t)}{R_c} = \frac{\pi R^2 B_0 k}{R_c}\, e^{-kt}. \]

(2) Daya yang Dihamburkan

Daya sesaat dalam hambatan $ R_c $:

\[ P(t) = I^2(t)\,R_c = \Bigl(\frac{\pi R^2 B_0 k}{R_c} e^{-kt}\Bigr)^2 R_c = \frac{\pi^2 R^4 B_0^2 k^2}{R_c}\, e^{-2kt}. \]

Energi terhambur total sampai $ t \to \infty $:

\[ E_{\mathrm{hilang}} = \int_0^{\infty} P(t)\, dt = \int_0^{\infty} \frac{\pi^2 R^4 B_0^2 k^2}{R_c} e^{-2kt}\, dt = \frac{\pi^2 R^4 B_0^2 k^2}{R_c} \cdot \frac{1}{2k} = \frac{\pi^2 R^4 B_0^2 k}{2R_c}. \]

(3) Energi dari Sumber Medan Magnet

Karena perubahan fluks disebabkan oleh sumber yang mengubah medan $B$, energi tersebut berasal dari sumber eksternal. Jika tidak ada energi lain yang disimpan, maka energi total yang dilepas sumber medan magnet sama dengan yang terhambur di cincin:

\[ E_{\mathrm{hilang}} = \frac{\pi^2 R^4 B_0^2 k}{2 R_c}. \]

Dengan demikian, energi itu dikonversi seluruhnya menjadi panas (efek Joule) pada cincin.

Kembali ke Soal

Pembahasan Soal 4 (Eksperimen - Momen Inersia)

Saat massa $m$ jatuh, gaya $mg$ dikurangi tegangan tali $T$ berakibat pada percepatan $a$ dari massa. Hubungan dinamika:

• Massa $m$: $ mg - T = m a. $
• Cakram: $ T R = I\, \alpha $, dengan $ \alpha = a/R $ (asumsi tali tidak slip).

Dari $ T = \frac{I a}{R^2} $, substitusikan ke persamaan massa:

\[ mg - \frac{I a}{R^2} = m a, \] \[ mg = m a + \frac{I a}{R^2}, \] \[ mg = a \Bigl(m + \frac{I}{R^2}\Bigr). \] \[ \therefore \quad a = \frac{mg}{m + \tfrac{I}{R^2}} = \frac{m g\,R^2}{m R^2 + I}. \]

Jika diukur $a$ secara eksperimen (misalnya dengan stopwatch atau sensor gerak), maka

\[ I = \frac{m g R^2}{a} - m R^2. \]

Prosedur:

1. Ukur $m$ dan $R$ dengan teliti.
2. Lepaskan massa $m$ dan ukurlah percepatan $a$ (misalnya jarak tempuh dalam selang waktu tertentu).
3. Gunakan rumus di atas untuk menghitung $I$.

Ketidakpastian (galat) dihitung melalui propagasi kesalahan dari $m$, $R$, dan $a$. Jika gesekan poros kecil, pengaruhnya dapat diabaikan. Verifikasi hal ini dengan pengujian berulang dan membandingkan hasil dengan perhitungan teori.

Kembali ke Soal

Pembahasan Soal 5 (Eksperimen - Konstanta Planck)

Dalam efek foto-listrik, energi foton $ E = \frac{h c}{\lambda} $, dengan $h$ konstanta Planck dan $c$ kecepatan cahaya. Beda potensial henti $ V_{\mathrm{stop}} $ terkait energi foton melalui

\[ e\,V_{\mathrm{stop}} = \frac{h\,c}{\lambda} - W, \]

di mana $W$ adalah fungsi kerja (work function) material katoda. Pada eksperimen dengan LED, pendekatan $W$ relatif kecil (atau dikalibrasi), sehingga sering diasumsikan

\[ V_{\mathrm{stop}} \approx \frac{h\,c}{e\,\lambda}. \]

Dengan memplot $ V_{\mathrm{stop}} $ (sumbu $y$) terhadap $ 1/\lambda $ (sumbu $x$), akan didapatkan garis linear:

\[ V_{\mathrm{stop}} = a\,\bigl(\tfrac{1}{\lambda}\bigr) + b. \]

Dari analisis:

\[ a = \frac{h\,c}{e}, \quad b = -\frac{W}{e}. \]

Sehingga

\[ h = \frac{a\,e}{c}. \]

Untuk ketidakpastian, gunakan analisis regresi linear dan ambil galat slope $a$. Dengan beberapa LED (bervariasi $ \lambda $), fit linear akan lebih baik. Nilai $b$ yang diperoleh dapat berhubungan dengan fungsi kerja material katoda.

Kembali ke Soal