Matematika SMA Kelas 10 : Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

---

1. Pendahuluan

Materi ini bertujuan untuk membantu peserta didik kelas 10 dalam memahami konsep Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel. Sebagai salah satu bagian penting dalam pembelajaran matematika, sistem pertidaksamaan akan sangat berguna dalam analisis data, pemodelan matematika, serta pemahaman konsep-konsep lanjutan seperti optimasi dan linear programming pada tingkat yang lebih tinggi. Dengan memahami materi ini, diharapkan para siswa dapat:

• Menjelaskan pengertian pertidaksamaan linear dua variabel.
• Menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel dengan metode grafik dan metode penyelesaian analitik.
• Menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
• Menginterpretasikan hasil penyelesaian dalam konteks permasalahan sehari-hari.

Kata Kunci: Pertidaksamaan, Sistem Pertidaksamaan, Variabel, Penyelesaian Grafik, Himpunan Penyelesaian.

---

2. Pengertian Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Sebelum kita melangkah lebih jauh membahas sistem pertidaksamaan dua variabel, mari kita mulai dengan memahami apa itu pertidaksamaan dan apa bedanya dengan persamaan.

Sebuah persamaan linear dalam dua variabel, misalnya \( x \) dan \( y \), adalah pernyataan bahwa suatu ekspresi linear sama dengan ekspresi lain, seperti:

di mana \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah konstanta. Berbeda dari persamaan, sebuah pertidaksamaan linear dalam dua variabel adalah pernyataan bahwa ekspresi linear lebih dari, kurang dari, lebih dari atau sama dengan, atau kurang dari atau sama dengan ekspresi lainnya, seperti:

Jadi, secara singkat, perbedaan mendasar antara persamaan dan pertidaksamaan adalah penggunaan tanda sama dengan (=) pada persamaan dan penggunaan tanda ketidaksamaan (>, <, ≥, ≤) pada pertidaksamaan.

Sistem pertidaksamaan dua variabel berarti kita memiliki dua atau lebih pertidaksamaan yang melibatkan dua variabel (misalnya \( x \) dan \( y \)) yang harus dipenuhi secara bersamaan. Tujuan kita adalah mencari himpunan semua pasangan \((x, y)\) yang memenuhi keseluruhan pertidaksamaan dalam sistem tersebut.

Misalnya, berikut adalah contoh sistem pertidaksamaan dua variabel:

Dengan memahami pengertian dasar ini, kita dapat melangkah menuju cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan, baik secara analitik (aljabar) maupun secara geometrik (melalui grafik).

---

3. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan, terdapat beberapa sifat penting dari pertidaksamaan yang akan sering kita gunakan. Beberapa sifat ini antara lain:

1. Sifat Penjumlahan: Jika \(a > b\), maka \(a + c > b + c\) untuk sembarang bilangan real \(c\). Secara umum, jika kita menambahkan nilai yang sama pada kedua ruas pertidaksamaan, ketidaksamaan tidak berubah.
2. Sifat Pengurangan: Jika \(a > b\), maka \(a - c > b - c\) untuk sembarang bilangan real \(c\). Ini sama saja dengan sifat penjumlahan tetapi dengan \(c\) bernilai negatif.
3. Sifat Perkalian: Jika \(a > b\) dan \(k\) adalah bilangan positif, maka \(ak > bk\). Namun, jika \(k\) adalah bilangan negatif, arah ketidaksamaan akan berbalik. Artinya, jika \(a > b\) dan \(k < 0\), maka \(ak < bk\).
4. Sifat Pembagian: Mirip dengan sifat perkalian. Jika \(a > b\) dan \(k\) adalah bilangan positif, maka \(\frac{a}{k} > \frac{b}{k}\). Tetapi jika \(k < 0\), maka \(\frac{a}{k} < \frac{b}{k}\).

Sifat-sifat ini akan sangat berguna ketika kita ingin memanipulasi bentuk pertidaksamaan, terutama saat kita ingin menemukan batas-batas daerah penyelesaian pada grafik atau melakukan proses eliminasi dan substitusi dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan.

---

4. Penyelesaian Melalui Representasi Grafik

Salah satu cara paling intuitif untuk memahami sistem pertidaksamaan dua variabel adalah melalui representasi grafik. Metode ini memanfaatkan fakta bahwa setiap pertidaksamaan linear dua variabel dapat diwakili oleh suatu daerah di dalam bidang koordinat \((x,y)\).

4.1. Representasi Satu Pertidaksamaan

Untuk menggambarkan pertidaksamaan seperti \( ax + by \le c \), kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan:
   Buat persamaan \( ax + by = c \). Ini adalah garis batas (boundary line).
2. Tentukan dua titik pada garis batas:
   Dengan memilih nilai \(x\) atau \(y\) tertentu, kita dapat menemukan minimal dua titik yang nantinya dapat dihubungkan untuk membentuk garis batas.
3. Gambarkan garisnya:
   Jika pertidaksamaan adalah \(\le\) atau \(\ge\), maka garis dibentuk penuh (solid line). Jika pertidaksamaan adalah \(<\) atau \(>\), maka garis dibentuk putus-putus (dashed line).
4. Tentukan daerah penyelesaian:
   Ambil sebuah titik uji (test point), biasanya \((0, 0)\) jika garis batas tidak melalui titik tersebut. Periksa apakah titik uji itu memenuhi pertidaksamaan. Jika memenuhi, maka daerah yang mengandung titik uji tersebut adalah daerah penyelesaian. Jika tidak, maka daerah sebaliknya adalah daerah penyelesaian.

Perhatikan contoh berikut untuk pertidaksamaan \( x + 2y \le 4 \):

Pada gambar di atas (ilustrasi), garis \(x + 2y = 4\) membagi bidang menjadi dua bagian. Karena titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan \( x + 2y \le 4 \), maka sisi bidang yang mengandung (0,0) adalah daerah penyelesaian.

4.2. Representasi Sistem Pertidaksamaan

Untuk sistem pertidaksamaan, kita akan memiliki lebih dari satu pertidaksamaan yang harus dipenuhi. Setiap pertidaksamaan membentuk sebuah daerah penyelesaian. Himpunan penyelesaian sistemnya adalah irisan (interseksi) dari semua daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.

Jika kita memiliki dua pertidaksamaan:

1. Representasikan pertidaksamaan pertama \(x + y \le 6\) sebagai sebuah daerah di bawah atau pada garis \(x + y = 6\).
2. Representasikan pertidaksamaan kedua \(2x - y > 0\) atau \(2x - y \ge 0\) (untuk keperluan menggambar, kita boleh mengubah > menjadi ≥, lalu gunakan garis putus-putus untuk menegaskan bahwa titik-titik pada garis tidak termasuk jika murni >). Ini sama dengan \(y \le 2x\).
3. Daerah penyelesaian sistem adalah daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan sekaligus, yaitu irisan dua daerah di bidang koordinat.

Kelebihan metode grafik:

• Memudahkan visualisasi daerah penyelesaian.
• Sangat berguna untuk permasalahan nyata, misalnya dalam konteks Linear Programming.

Kekurangan metode grafik:

• Kurang tepat jika nilai-nilai solusinya tidak bulat (dapat terjadi kesalahan dalam penarikan garis/plotting).
• Kurang efisien bila sistem pertidaksamaan lebih rumit atau jumlah variabel lebih dari dua.

---

5. Metode Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan

Terdapat dua pendekatan utama yang kerap digunakan dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel:

1. Metode Grafik
   Seperti yang telah dibahas, metode ini melibatkan penggambaran setiap pertidaksamaan di bidang \(xy\). Himpunan penyelesaian sistem adalah irisan daerah-daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
2. Metode Analitik (Aljabar)
   Meskipun pertidaksamaan tidak bisa diselesaikan dengan cara substitusi dan eliminasi seperti persamaan, kita dapat memanfaatkan manipulasi aljabar untuk menentukan batas-batas (garis) dan kemudian melakukan uji titik atau analisis interval. Sebenarnya, dalam dua variabel, metode analitik sering kali tetap memerlukan interpretasi geometrik agar lebih mudah.

Dalam praktik, khususnya untuk pelajaran matematika di kelas 10, metode grafik biasanya ditekankan karena memberikan pemahaman visual yang kuat. Namun, untuk beberapa soal, metode analitik yang cermat juga dapat digunakan.

5.1. Langkah-Langkah Metode Grafik

1. Tulis setiap pertidaksamaan dalam bentuk standar (misalnya \(ax + by \le c\)).
2. Gambarkan masing-masing garis batas \(ax + by = c\). Pilih titik uji untuk menentukan sisi mana yang mewakili penyelesaian pertidaksamaan.
3. Cari irisan dari semua daerah penyelesaian. Daerah yang tersisa itulah himpunan penyelesaian sistem.

5.2. Langkah-Langkah Metode Analitik

Meskipun tidak selalu disebut secara eksplisit, metode analitik dapat dijalankan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Sama seperti metode grafik, tentukan garis batas untuk masing-masing pertidaksamaan.
2. Berdasarkan tanda pertidaksamaan, tentukan apakah daerah penyelesaian berada di atas/bawah atau kiri/kanan dari garis batas tersebut.
3. Jika diperlukan, tentukan titik potong antar garis batas untuk memudahkan mencari area irisan.
4. Verifikasi dengan satu atau lebih titik uji di sekitar titik potong untuk memastikan area mana yang valid.

Bagaimanapun, dalam kasus dua variabel, metode grafik biasanya lebih mudah dipahami. Selanjutnya, kita akan melihat beberapa contoh soal agar pemahaman kita semakin lengkap.

---

6. Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut beberapa contoh soal sistem pertidaksamaan linear dua variabel beserta cara penyelesaiannya. Setiap contoh mengilustrasikan metode grafik, namun beberapa juga akan disertai pendekatan aljabar.

Dari ketiga contoh di atas, kita bisa melihat bahwa langkah-langkah fundamentalnya selalu sama: temukan garis batas, tentukan letak daerah penyelesaian, lalu cari irisan.

---

7. Latihan Soal

Berikut adalah beberapa latihan soal yang dapat dikerjakan untuk memperdalam pemahaman. Kerjakan secara mandiri terlebih dahulu sebelum memeriksa pembahasannya.

---

8. Pembahasan Latihan Soal

Pembahasan selengkapnya untuk latihan soal di atas akan disajikan pada Tahap 2/2.

-- Berlanjut ke Tahap 2/2 --

8. Pembahasan Latihan Soal

Berikut adalah pembahasan untuk setiap latihan soal yang telah diberikan. Pastikan untuk selalu memeriksa hasil pengerjaanmu sendiri sebelum mencocokkan dengan pembahasan ini, agar proses belajar menjadi lebih optimal.

---

9. Kesimpulan

Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel merupakan salah satu topik dasar yang penting dalam mata pelajaran Matematika di Kelas 10. Melalui materi ini, kita mempelajari:

1. Pengertian pertidaksamaan linear dua variabel sebagai bentuk matematis yang menyatakan lebih dari, kurang dari, lebih dari sama dengan, atau kurang dari sama dengan.
2. Cara merepresentasikan pertidaksamaan di bidang koordinat, dengan garis batas dan penentuan daerah solusi melalui pengujian titik.
3. Konsep sistem pertidaksamaan, yaitu lebih dari satu pertidaksamaan yang harus dipenuhi secara simultan. Himpunan penyelesaian sistem adalah irisan daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan.
4. Metode penyelesaian, baik secara grafik maupun (sebagian) analitik, serta aplikasi dalam masalah kontekstual, seperti pengalokasian sumber daya dalam kegiatan produksi, perbaikan, atau masalah-masalah linier lainnya.

Pemahaman konsep ini menjadi fondasi yang kuat untuk materi yang lebih lanjut, seperti Program Linear (Linear Programming) yang akan dibahas di kelas yang lebih tinggi, di mana kita memanfaatkan konsep pertidaksamaan linear untuk menemukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif.

---

10. Referensi

1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. (2017). Buku Teks Pelajaran Matematika SMA/MA Kelas X. Kurikulum 2013 Revisi.
2. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S. (2008). College Algebra. Pearson Education.
3. Rottman, P. (2013). Precalculus: A Concise Course. Addison-Wesley.
4. Thomas, G.B., & Finney, R.L. (2010). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.

---

Pengayaan Materi (Pembahasan Mendalam & Ekstensif)

Pada bagian sebelumnya, kita telah menuntaskan penjelasan dan contoh-contoh pokok terkait Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel. Untuk semakin memperkuat pemahaman, berikut adalah rangkuman dan pengayaan materi yang sangat mendalam, sehingga kita dapat benar-benar memahami konsep, teori, praktik, dan beberapa kemungkinan variasi soal dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Bagian ini memang akan sangat panjang, karena menambahkan banyak contoh, ilustrasi, analogi, dan beberapa penekanan teoretis yang mungkin bermanfaat bagi siswa yang ingin menguasai topik ini secara tuntas.

1. Penjelasan Teoritis Ekstra

Pertidaksamaan linear dua variabel dapat dipandang sebagai ekstensi dari pertidaksamaan satu variabel. Pada pertidaksamaan satu variabel, kita menentukan interval pada garis bilangan real. Di pertidaksamaan dua variabel, setidaknya kita menentukan daerah pada bidang kartesius (dua dimensi). Saat masuk ke pertidaksamaan tiga variabel, kita menentukan volume dalam ruang tiga dimensi, dan seterusnya.

Perbedaan mendasar antara persamaan dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan hanya mewakili satu garis (di dua variabel), sementara pertidaksamaan mewakili dua sisi bidang yang dipisahkan oleh garis tersebut. Bagi kita yang sudah terbiasa dengan persamaan linear dua variabel, proses menyelesaikan pertidaksamaan linear sebenarnya hanya memerlukan penambahan langkah untuk menentukan “sisi mana” yang menjadi daerah solusi.

Dalam banyak aplikasi dunia nyata, pertidaksamaan muncul saat ada batasan. Misalnya, “anggaran tidak boleh lebih dari sekian”, “kuantitas produksi harus minimal sekian”, “persediaan bahan tidak boleh melebihi kapasitas gudang”, atau “waktu yang tersedia tidak boleh melampaui deadline tertentu”. Semuanya dapat direpresentasikan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Ketika ada lebih dari satu batasan, maka jadilah sistem pertidaksamaan. Mencari solusi berarti mencari semua alternatif (biasanya kombinasi variabel) yang memenuhi seluruh batasan tersebut sekaligus.

Peran dalam Program Linear: Sebagai catatan, topik ini adalah dasar pemahaman Program Linear (Linear Programming). Dalam Program Linear, kita mempunyai fungsi objektif yang ingin dioptimasi (dimaksimumkan atau diminimumkan) dan rangkaian batasan berbentuk pertidaksamaan linear. Metode grafik pada dua variabel sering menjadi cara untuk melihat bagaimana kita mencari titik optimum di “puncak” poligon (di antara irisan semua setengah-bidang). Walaupun di kelas 10 mungkin belum dibahas detail tentang optimasi, memahami daerah layak (feasible region) sangat penting agar kita siap saat sampai di pembahasan Program Linear di jenjang selanjutnya.

2. Metode Penyelesaian yang Lebih Rinci

Selain metode grafik dan analitik dasar, ada beberapa variasi pendekatan yang bisa kita lakukan. Misalnya, kita bisa melakukan:

• Analisis titik-titik potong:
  Jika kita punya lebih dari dua pertidaksamaan, seringkali kita menemukan beberapa garis di bidang. Kita bisa menentukan titik-titik potong antar garis (jika ada) kemudian memeriksa daerah (region) yang terbentuk. Mengapa kita tertarik pada titik potong? Dalam banyak kasus, daerah penyelesaian adalah poligon atau bentuk tak beraturan yang sisi-sisinya ditentukan oleh garis-garis batas. Dengan mengetahui koordinat titik potong, kita bisa “mengunci” batas-batas daerah secara tepat, lalu menentukan mana saja area yang valid.
• Substitusi domain diskrit:
  Jika misalnya soal membatasi bahwa \(x\) dan \(y\) harus bilangan bulat, maka kita bisa melakukan enumerasi (daftar) titik-titik yang memenuhi batasan. Tentu ini lebih cocok untuk kasus komputasi atau himpunan diskrit, bukan himpunan real continuous. Tapi dari segi konsep, hal ini masih berakar pada pertidaksamaan linear dua variabel.

Inti keseluruhan metode: temukan garis batas, tentukan mana sisi yang memenuhi tanda ketidaksamaan, lalu cari irisan dari semua setengah-bidang itu. Jika sistem sangat besar atau lebih dari dua variabel, metode grafik manual menjadi tidak praktis. Biasanya kita memerlukan alat bantu lebih canggih atau menempuh metode analitik/komputasi (misalnya Simplex Method, dsb. tetapi itu sudah di luar ruang lingkup kelas 10).

3. Contoh-Contoh Ekstra

Berikut adalah beberapa contoh tambahan yang bisa kamu gunakan untuk berlatih. Sebagiannya tidak kami sertakan pembahasan lengkap untuk melatih kemandirian, namun garis besar solusi tetap diberikan. Kamu bisa menyesuaikan dan mencoba menggambar grafik secara mandiri.

4. Strategi Menentukan Titik Uji (Test Point)

Sebagian besar contoh di atas menggunakan titik \((0,0)\) untuk menentukan sisi penyelesaian. Sebenarnya, kita bisa memilih titik uji lain jika \((0,0)\) berada di garis batas atau jika \((0,0)\) tidak memudahkan kita. Kunci utama adalah:

• Titik uji tidak terletak pada garis batas, karena kita ingin mengecek sisi mana yang memenuhi ketidaksamaan.
• Gunakan titik yang termudah dihitung, misal \((1,0)\), \((0,1)\), \((2,0)\), atau apa pun yang memudahkan kita.
• Jika hasil substitusi di pertidaksamaan benar, berarti daerah yang memuat titik itu adalah daerah solusi. Sebaliknya, jika salah, daerah itu bukan solusi.

5. Pentingnya Interpretasi

Satu hal yang menonjol di materi ini adalah kemampuan interpretasi. Saat kita memodelkan sebuah situasi nyata ke dalam bahasa matematika, kita menerjemahkan “batasan” menjadi pertidaksamaan linear. Kemudian, kita menyelesaikan sistem pertidaksamaan itu di kertas, namun kita pun perlu menafsirkan (interpret) apa artinya himpunan solusi di kehidupan nyata. Sebagai contoh, dalam soal produksi pabrik, himpunan penyelesaian adalah semua kombinasi jumlah barang A dan B yang tidak melanggar jam kerja, kapasitas mesin, bahan baku, dsb. Dengan memahami interpretasi ini, kita menjadi lebih cermat dan kontekstual.

Oleh karena itu, ketika mempelajari pertidaksamaan linear dua variabel, teruslah ingat bahwa setiap garis batas bukan sekadar “garis di kertas”, tetapi mewakili batas fisik atau konseptual di kehidupan nyata, misalnya batasan anggaran, kapasitas, waktu, dan sebagainya.

6. Hubungan dengan Konsep Geometri

Meskipun kita menempatkan pertidaksamaan linear dua variabel dalam konteks aljabar, sebenarnya banyak hal menarik di geometri yang berkaitan. Sebuah garis di bidang kartesius, menurut pendekatan geometri, adalah kumpulan titik-titik yang berjarak tertentu satu sama lain berdasarkan syarat linear. Saat kita menentukan “di atas” atau “di bawah” garis, kita sedang memisahkan bidang ke dalam dua setengah-bidang (half-planes). Hal inilah yang menjadi landasan untuk topik Linear Programming dan Geometric Transformations yang lebih lanjut.

7. Latihan Tambahan untuk Mempertajam Pemahaman

Supaya semakin matang, cobalah sering latihan memformulasi soal sendiri. Bayangkan skenario:

• Dalam sebuah pesta, tersedia 10 liter jus dan 20 liter soda. Tiap gelas minuman A (jus campur soda) menggunakan 200 ml jus dan 300 ml soda. Tiap gelas minuman B (jus murni + sedikit soda) menggunakan 400 ml jus dan 100 ml soda. Buat sistem pertidaksamaan dan tentukan daerah penyelesaiannya.
• Pengusaha kue memiliki 50 kg tepung dan 30 kg gula. Kue jenis muffin memerlukan 100 g tepung dan 50 g gula. Kue jenis donat memerlukan 150 g tepung dan 70 g gula. Berapa maksimal muffin dan donat yang bisa dibuat? (Walau ini cenderung ke optimasi, kita bisa tetap hanya membahas batasan syaratnya.)
• Tentukan \emph{range} atau cakupan dari “daerah tak hingga” vs. “daerah hingga” di sistem pertidaksamaan. Coba ciptakan sistem di mana daerah penyelesaian menjadi himpunan kosong, atau sebaliknya menjadi seluruh bidang.

Beragam latihan ini menumbuhkan insting matematika untuk lebih tanggap saat menghadapi batasan-batasan dalam bentuk pertidaksamaan.

8. Rangkum Ulang: Hal-Hal Utama

Kita sudah mempelajari bahwa:

1. Pertidaksamaan linear dua variabel memiliki bentuk umum seperti \(ax + by \le c\), \(ax + by \ge c\), \(ax + by < c\), atau \(ax + by > c\).
2. Garis batas (boundary line) adalah garis yang diperoleh dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda sama dengan.
3. Penentuan sisi (atas/bawah, kiri/kanan) ditentukan dengan uji titik (test point). Titik (0,0) kerap jadi pilihan paling mudah, asalkan garis batas tidak melalui (0,0).
4. Sistem pertidaksamaan berarti ada beberapa pertidaksamaan yang harus dipenuhi bersama. Himpunan penyelesaian adalah irisan (intersection) seluruh daerah penyelesaian tunggal.
5. Metode grafik sangat intuitif, terutama untuk 2 variabel. Untuk jumlah variabel lebih banyak, kita biasanya beralih ke metode analitik atau numerik/komputasi.
6. Penekanan pada interpretasi penting saat menghadapi soal cerita atau soal kontekstual. Inilah yang membedakan matematikawan terampil, yang bisa menerjemahkan situasi nyata menjadi model matematika yang tepat.

9. Menuju Aplikasi Lanjut

Setelah mempelajari Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel, kita akan lebih siap untuk menempuh materi:

• Program Linear (Linear Programming): di mana kita menambahkan fungsi objektif \(f(x,y)\) untuk dioptimalkan (dimaksimumkan atau diminimumkan). Daerah penyelesaian (feasible region) adalah hasil irisan pertidaksamaan yang kita pelajari. Titik optimum umumnya berada di titik-titik sudut (vertices) poligon (di 2D).
• Geometri Analitik Lanjutan: konsep setengah bidang, jarak titik ke garis, transformasi linear, dsb.
• Pengambilan Keputusan dan Analisis Data: sering kali analisis ketidaksamaan memandu kita dalam menetapkan skenario-skenario yang mungkin (feasible) dan menyingkirkan yang mustahil.

Apabila masih ada keraguan atau ketidakpahaman, disarankan untuk melakukan diskusi di kelas, menanyakan pada guru, atau memanfaatkan sumber-sumber belajar lain seperti buku teks, tutorial video, latihan interaktif, dan pembahasan soal di internet. Kombinasi berbagai metode belajar akan memudahkan kita untuk menyerap materi yang kadang terasa abstrak ini.

Baca Juga :

• Matematika SMA Kelas 10 : Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• Matematika SMA Kelas 10 : Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
• Matematika SMA Kelas 10 : Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel